Inhaltsverzeichnis




1. Der Stand der Dinge . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . .              1

2. Wie zuf¨allig ist Pi ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
     2.1 Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
     2.2 Ist Pi normal? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
     2.3 Doch nicht normal? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
     2.4 Das 163-Ph¨anomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
     2.5 Weitere statistische Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
     2.6 Die Intuitionisten und   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
     2.7 Kettenbruchdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3. Leichte Wege zu   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
     3.1 Kannitverstahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
     3.2 In der K¨urze liegt die W¨urze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
     3.3 Pi und der Zufall (Monte-Carlo-Verfahren) . . . . . . . . . . . . 38
     3.4 Memorabilia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
     3.5 Bit f¨ur Bit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
     3.6 Verbesserungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
     3.7 Der  -Saal in Paris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4. N¨aherungen f¨ur Pi und Kettenbr¨uche . . . . . . . . . . . . . . . . 51
     4.1 Rationale N¨aherungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
     4.2 Andere N¨aherungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
     4.3 Jugend n¨ahert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
     4.4 ¨Uber Kettenbr¨uche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5. Arcus Tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
     5.1 Die arctan-Formel von John Machin . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
     5.2 Weitere arctan-Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72



X        Inhaltsverzeichnis

6. Tr¨opfel-Algorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
      6.1 Der Tr¨opfel-Algorithmus im Detail . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
      6.2 Ablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
      6.3 Eine schnellere Variante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
      6.4 Tr¨opfel-Algorithmus f¨ur e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7. Gauß und   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
      7.1 Die Pi-AGM-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
      7.2 Der Gauß-AGM-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
      7.3 Historie einer Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

8. Ramanujan und Pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
      8.1 Ramanujansche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
      8.2 Ramanujans ungew¨ohnliche Biographie . . . . . . . . . . . . . . 104
      8.3 Impulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

9. Die Borweins und   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

10. Das BBP-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
      10.1 Bin¨are modulo-Exponentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
      10.2 Ein C-Programm zur BBP-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
      10.3 Verbesserungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

11. Arithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
      11.1 Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
      11.2 Karatsuba-Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
      11.3 FFT-Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
      11.4 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
      11.5 Quadratwurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
      11.6 n-te Wurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
      11.7 Reihen-Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

12. Vermischtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
      12.1 Ein Pi-Quiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
      12.2 Laßt Zahlen sprechen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
      12.3 Ein Beweis f¨ur Pi = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
      12.4 The Big Change . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
      12.5 Fast voll daneben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
      12.6 Warum immer mehr Stellen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
      12.7 Kreisquadratur mit L¨ochern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156



                                                                        Inhaltsverzeichnis           XI

13. Die Historie von   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
      13.1 Altertum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
      13.2 Polygone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
      13.3 Unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
      13.4 Hochleistungsalgorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
      13.5 Die Jagd nach Einzelstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
      Tabelle: Historie von Pi bis zum 20. Jahrhundert . . . . . . . . . . . 197
      Tabelle: Historie von Pi im 20. Jahrhundert . . . . . . . . . . . . . . . 198

14. Historische Notizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
      14.1 Die fr¨uheste Kreisquadratur der Geschichte? . . . . . . . . . . 199
      14.2 Ein  -Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
      14.3 Der Fall Bieberbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

15. Die Zukunft: Pi-Berechnungen im Internet . . . . . . . . . . 205
      15.1 Der binsplit-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
      15.2 Das Pi-Projekt im Internet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

16. Formelsammlung   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

17. Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
      17.1 Ausgew¨ahlte Konstante auf 100 Stellen (Basis 10) . . . . . 227
      17.2 Die Stellen 0 bis 2 500 von Pi (Basis 10) . . . . . . . . . . . . . . 228
      17.3 Die Stellen 2 501 bis 5 000 von Pi (Basis 10) . . . . . . . . . . . 229
      17.4 Die Stellen 0 bis 2 500 von Pi (Basis 16) . . . . . . . . . . . . . . 230
      17.5 Die Stellen 2 501 bis 5 000 Pi (Basis 16) . . . . . . . . . . . . . . . 231
      17.6 Die Kettenbruch-Elemente 0 bis 1 000 von Pi . . . . . . . . . . 232
      17.7 Die Kettenbruch-Elemente 1 001 bis 2 000 von Pi . . . . . . . 233

A. Documentation for the hfloat-library . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
      A.1 What hfloat is (good for) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
      A.2 Compiling the library . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
      A.3 Functions of the hfloat-library . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
      A.4 Using hfloats in your own code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
      A.5 Computations with extreme precision . . . . . . . . . . . . . . . . 241
      A.6 Precision and radix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
      A.7 Compiling & running the Pi-example-code . . . . . . . . . . . . 243
      A.8 Structure of hfloat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
      A.9 Organisation of the files . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
      A.10 Distribution policy & no warranty . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246



XII       Inhaltsverzeichnis

B. Other high precision libraries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259